[이론] 분산투자의 효과는 종목 수보다 상관관계가 결정한다

분산투자의 효과는 종목 수보다 상관관계가 결정한다

열 종목을 샀는데 모두 떨어지는 이유

어떤 종목의 내일 상승 확률이 70%라고 하자. 이런 종목을 열 개 골랐다면, 오르는 종목 수의 기댓값은 7개다.

각 종목이 오르면 $X_i=1$, 떨어지면 $X_i=0$이라고 할 때, 오르는 종목 수를 $K$라고 쓰면

이고,

이다. 이 계산에는 종목들이 서로 독립이라는 조건이 필요하지 않다. 각 종목의 상승 확률이 정말 70%라면, 서로 상관되어 있어도 오르는 종목 수의 평균은 여전히 7개다.

상관관계가 바꾸는 것은 평균이 아니라 결과의 퍼짐이다.

• 종목들이 서로 독립에 가까우면 오르는 종목 수는 7개 부근에 비교적 모인다.
• 종목들이 같은 방향으로 움직이면 전부 오르거나 전부 떨어지는 극단적인 결과가 더 자주 나타난다.

독립이라고 해도 매일 정확히 일곱 종목이 오르는 것은 아니다. 정확히 일곱 종목이 오를 확률은

로 약 26.7%다. 따라서 열 종목이 매번 일곱 개와 세 개로 나뉠 것이라고 기대하는 것부터가 잘못이다.

그러나 열 종목이 독립이라면 열 종목 모두 하락할 확률은

로 약 0.00059%에 불과하다. 실제 시장에서 동반 하락이 이보다 훨씬 자주 나타난다면, 종목들이 공통 요인의 영향을 받고 있거나 처음 추정한 70%라는 확률이 시장 상황에 따라 달라졌을 가능성을 살펴봐야 한다.

포트폴리오 위험은 종목 위험의 평균이 아니다

1952년 해리 마코위츠는 「Portfolio Selection」을 통해 현대 포트폴리오 이론의 기초를 제시했다. 그의 핵심 통찰은 포트폴리오의 위험이 개별 자산 위험만으로 결정되지 않는다는 것이다. 자산들이 서로 어떻게 움직이는지를 나타내는 공분산까지 함께 계산해야 한다.

일반적인 포트폴리오 분산은 다음과 같다.

여기서 $w_i$는 종목 $i$의 비중이고, ${\sigma }_i^2$은 그 종목 수익률의 분산이다.

이 식을 단순하게 만들기 위해 다음과 같이 가정해보자.

• $N$개 종목에 같은 비중으로 투자한다.
• 모든 종목의 분산이 동일하게 ${\sigma }^2$이다.
• 모든 종목 쌍의 상관계수가 동일하게 $\rho$이다.

그러면 포트폴리오 분산은

이 된다.

첫 번째 항은 종목 수 $N$이 늘어나면 0에 가까워진다. 이것이 분산투자로 제거할 수 있는 부분이다. 그러나 두 번째 항은

에 가까워지며 사라지지 않는다. 종목들이 함께 움직이는 한, 종목 수를 늘리는 것만으로는 위험을 0으로 만들 수 없다.

여기서 분산과 변동성을 구분해야 한다. 예를 들어 $\rho =0.7$이면 무한히 많은 종목을 담았을 때 남는 것은 단일 종목 분산의 70%다. 표준편차로 측정한 변동성은

이므로 단일 종목 변동성의 약 83.7%가 남는다.

분산투자에는 바닥이 있다. 그 바닥은 단순히 종목 수가 아니라 종목 사이의 공분산 구조가 결정한다.

하나의 시장요인으로 관계를 단순화하다

마코위츠의 모형을 실제로 사용하려면 많은 공분산을 추정해야 한다. 종목이 100개면 서로 다른 종목 쌍이 4,950개이고, 1,000개면 499,500개다.

윌리엄 샤프는 1963년 「A Simplified Model for Portfolio Analysis」에서 이 문제를 단순화하는 단일 지수 모형을 제안했다.

이 식은 종목 $i$의 수익률을 다음 부분으로 나눈다.

• ${\beta }_i{r}_m$: 시장 전체의 움직임과 함께 변하는 부분
• ${\epsilon }_i$: 이 모형에서 시장요인으로 설명되지 않는 종목 고유의 부분

여러 종목을 보유하면 서로 상관관계가 낮은 고유 충격은 상당 부분 상쇄될 수 있다. 완전한 독립은 필요하지 않으며, 상관이 낮거나 음수일수록 분산효과가 커진다. 반면 시장 전체가 하락할 때 발생하는 공통 충격은 종목 수를 늘려도 제거되지 않는다. 이것이 비체계적 위험과 체계적 위험을 구분하는 기본 생각이다.

다만 모든 동반 하락이 시장수익률 하나 때문에 발생한다고 단정해서는 안 된다. 산업, 금리, 환율, 투자 스타일과 같은 다른 공통 요인도 여러 종목을 동시에 움직일 수 있다. 단일 지수 모형은 현실을 이해하기 위한 유용한 근사이지 완전한 설명은 아니다.

종목은 몇 개면 충분한가

분산투자에 필요한 종목 수는 하나의 고정된 숫자로 정할 수 없다. 무엇을 ‘충분한 분산’이라고 정의하는지, 종목을 어떻게 선정하는지, 어느 시기의 데이터를 사용하는지에 따라 답이 달라진다.

에번스와 아처는 1968년 무작위로 선택한 종목을 포트폴리오에 추가하면서 수익률의 분산이 얼마나 줄어드는지 조사했다. 이 연구는 대략 10개 안팎에서 분산효과의 상당 부분이 나타난다는 오래된 기준의 근거가 됐다.

스탯먼은 1987년 「How Many Stocks Make a Diversified Portfolio?」에서 위험 감소의 편익과 분산투자 비용을 비교했다. 그의 결론은 차입 투자자에게 최소 30종목, 자금을 빌려주는 투자자에게 최소 40종목이었다.

캠벨·레타우·맬킬·쉬는 2001년 미국 주식의 변동성을 시장·산업·기업 고유 성분으로 분해했다. 1962년부터 1997년까지 시장과 산업 수준의 변동성에는 뚜렷한 장기 추세가 없었지만, 기업 고유 변동성은 증가했다. 이에 따라 같은 수준의 분산효과를 얻는 데 필요한 종목 수도 늘어났다.

따라서 “분산투자에는 정확히 10개, 30개 또는 50개가 필요하다”는 식으로 말하면 안 된다. 중요한 것은 원하는 위험 감소 수준과 실제 종목 간 상관구조다.

랜덤행렬에서 나타난 시장요인

1990년대에는 통계물리학자들이 랜덤행렬이론을 금융시장 데이터에 적용하기 시작했다. 이 접근은 표본에서 관측된 상관관계 가운데 어느 부분이 구조이고 어느 부분이 잡음일 수 있는지를 구분하려는 시도였다.

라루·시조·부쇼·포터스는 1999년 「Noise Dressing of Financial Correlation Matrices」에서 미국 주식의 상관행렬 고유값을 계산하고, 이를 무작위 데이터가 만들어낼 고유값 범위와 비교했다.

많은 고유값은 랜덤행렬 모형이 예측하는 구간 안에 있었다. 이는 해당 표본과 기준만으로 그 고유값을 순수한 표본 잡음과 뚜렷하게 구별하기 어렵다는 뜻이다. 구조가 전혀 없다는 증명은 아니다.

반면 가장 큰 고유값은 잡음이 설명할 수 있는 상한보다 훨씬 컸다. 그 고유벡터에서는 많은 종목이 같은 방향의 성분을 보였기 때문에 시장 전체를 움직이는 공통요인으로 해석됐다.

여기서 주의할 점이 있다. 상관행렬의 모든 고유값의 합은 종목 수 $N$과 같다.

따라서 가장 큰 고유값이 중요하다는 사실을 “나머지 고유값을 모두 합친 것보다 컸다”고 표현해서는 안 된다. 정확한 설명은 가장 큰 고유값이 잡음 모형의 상한에서 크게 벗어났고, 시장 공통요인을 나타냈다는 것이다.

시장이 하락할 때 강해지는 동조화

분산투자의 효과를 계산할 때 상관계수를 고정된 값으로 놓는 경우가 많다. 그러나 실제 상관구조는 시장 상황에 따라 변할 수 있다.

롱긴과 솔닉은 2001년 국제 주식시장의 극단적 움직임을 분석했다. 이 연구의 중요한 결과는 단순히 “변동성이 커지면 언제나 상관이 높아진다”는 것이 아니었다. 큰 하락이 발생하는 약세장에서 국제 주식시장의 동조화가 강해지는 비대칭성이 관찰됐다.

앙과 첸도 2002년 미국 주식 포트폴리오에서 하락 방향의 상관이 기존 모형의 예측보다 강하게 나타나는 현상을 분석했다.

이 결과는 평온한 시기의 평균 상관계수만으로 위기 상황의 분산효과를 평가하면 위험을 과소평가할 수 있음을 보여준다. 다만 “폭락하면 모든 상관계수가 반드시 1이 된다”거나 “분산투자가 완전히 사라진다”는 뜻은 아니다. 상관이 상승하면 분산효과가 평소보다 약해질 수 있다는 의미다.

분산투자를 보험에 비유한다면 다음 정도가 정확하다.

분산투자라는 보험은 시장이 크게 하락할 때도 작동하지만, 평온한 시기에 기대했던 것보다 보장 효과가 약해질 수 있다.

종목 분산과 시간 분산은 다른 문제다

종목을 여러 개 보유하는 것과 같은 자산을 오랫동안 보유하는 것은 같은 형태의 분산이 아니다.

종목 분산은 같은 시점에 여러 자산의 손익을 결합한다. 그 효과는 종목 간 공분산에 달려 있다. 시간 분산은 여러 기간의 수익을 연결한다. 이때는 기간별 수익의 의존성, 복리, 투자 비중 조정, 중간 손실과 파산 가능성 등을 고려해야 한다.

또한 다음 문제들도 서로 구분해야 한다.

이 네 질문에 하나의 공식으로 답할 수는 없다.

사무엘슨의 내기가 말하는 것

폴 사무엘슨은 1963년 「Risk and Uncertainty: A Fallacy of Large Numbers」에서 동료와의 내기를 소개했다. 앞면이면 200달러를 얻고 뒷면이면 100달러를 잃는 내기였다. 동료는 한 번은 거절했지만 100번 묶음이라면 받아들이겠다고 말했다.

사무엘슨의 주장을 다음처럼 단순화하면 안 된다.

한 번 거절한 내기는 여러 번 반복해도 언제나 거절해야 한다.

그의 논증에는 중요한 조건이 있다. 한 판의 내기를 현재 재산에서만 거절하는 것이 아니라, 반복 과정에서 도달할 수 있는 관련 재산 수준에서도 계속 거절하는 선호를 가정한다. 그 조건 아래에서는 한 판을 모두 거절하면서 전체 묶음은 받아들이는 선택이 기대효용상 일관되지 않을 수 있다.

반면 고정 금액의 내기를 100번 했을 때 손실 확률이 한 번보다 작아지는 것은 사실이다. 100판 중 이긴 횟수를 $W$라고 하면 누적 손익은

이다. 손실이 나려면 $W\le 33$이어야 하므로

이다. 약 0.0437%다.

따라서 두 사실을 함께 말해야 한다.

• 100회 묶음의 최종 손실 확률은 한 번의 손실 확률보다 훨씬 작다.
• 그렇다고 모든 사람이 반드시 묶음을 받아야 한다는 결론이 자동으로 나오지는 않는다. 선택은 재산과 효용, 손실 감내 능력에도 달려 있다.

또한 독립적인 고정 금액 손익의 합에서

이 성립한다고 해서 주식의 최종 자산에도 같은 공식을 그대로 적용해서는 안 된다. 투자수익률은 일반적으로 현재 자산에 곱해진다.

더하기 손익과 복리 자산은 서로 다른 모형이다.

분할매수는 무엇과 비교해야 하는가

콘스탄티니데스의 1979년 연구와 이후의 여러 연구는 이미 보유한 목돈을 한꺼번에 투자할지 일정 기간에 걸쳐 나누어 투자할지를 분석했다.

투자 대상의 기대수익률이 현금 수익률보다 높고 그 기대가 투자기간 동안 유지된다고 가정하면, 목돈을 먼저 투자하는 방식이 더 높은 기대수익을 갖는다. 분할매수 기간에 현금으로 남아 있는 돈은 그 차이만큼 기대수익을 포기하기 때문이다. 역사적 자료를 이용한 일부 비교에서도 목돈 투자가 분할매수를 이긴 기간이 더 많았지만, 그 비율은 시장·기간·분할 방식에 따라 달라질 수 있다.

그러나 이것이 분할매수가 아무 의미 없다는 뜻은 아니다. 분할매수는 투자 직후 큰 하락을 만나는 시점 위험과 심리적 부담을 낮출 수 있다. 기대수익을 일부 포기하는 대신 진입 시점의 위험을 나누는 선택으로 이해해야 한다.

더구나 월급처럼 미래에 새로 생기는 돈을 매달 투자하는 적립식 투자는 이미 가진 목돈을 일부러 현금으로 남기는 분할매수와 다르다. 두 전략을 같은 것으로 취급해서는 안 된다.

독립적인 베팅이 많을수록 성과는 안정된다

리처드 그리놀드는 액티브 운용의 기본 법칙을 다음과 같이 제시했다.

$IR$은 정보비율, $IC$는 예측과 실제 결과 사이의 관계를 나타내는 정보계수, $BR$은 독립적인 투자 기회의 수를 뜻한다.

이 기본식은 다음과 같은 이상적인 조건을 전제로 한다.

• 투자 기회들이 서로 독립적이다.
• 예측력의 질이 일정하다.
• 예측을 포트폴리오에 효율적으로 반영할 수 있다.
• 거래비용과 운용 제약을 무시하거나 별도로 처리한다.

실제 운용에서는 예측을 포지션에 얼마나 충실하게 전달했는지를 나타내는 전달계수 $TC$를 포함해

처럼 표현하기도 한다.

같은 날 같은 모형으로 900개 종목을 매수했다고 해서 자동으로 $BR=900$이 되는 것은 아니다. 종목들이 시장·산업·스타일 요인을 공유하고 예측 신호도 서로 닮았다면 유효한 독립 베팅 수는 훨씬 작다.

그렇다고 독립성을 확보할 수 있는 축이 시간뿐인 것은 아니다.

• 서로 다른 자산군
• 서로 다른 국가와 산업
• 서로 다른 위험요인
• 서로 다른 투자전략과 데이터
• 서로 다른 보유기간
• 시간적으로 분리된 새로운 기회

이 가운데 어느 것도 이름이 다르다는 이유만으로 독립적이라고 간주할 수는 없다. 실제 수익과 신호의 공분산을 확인해야 한다.

여러 개처럼 보이는 것 중 몇 개가 정말 다른가

마코위츠 이후의 연구를 관통하는 질문은 단순하다.

여러 개의 투자처럼 보이는 포지션이 실제로는 몇 개의 서로 구별되는 위험과 정보로 이루어져 있는가?

마코위츠는 포트폴리오 위험이 자산 사이의 공분산에 달려 있음을 보였다. 샤프의 단일 지수 모형은 여러 종목의 공통 움직임을 시장요인으로 단순화했다. 랜덤행렬 연구는 표본 상관행렬에서 강한 시장요인과 잡음을 구분하려 했다. 하방 상관 연구는 공분산 구조가 시장 상황에 따라 달라질 수 있음을 보여줬다. 액티브 운용의 기본 법칙은 독립적인 예측 기회가 많을수록 위험 대비 성과가 개선될 수 있음을 식으로 표현했다.

이 연구들이 말하는 것은 “종목을 많이 사도 소용없다”가 아니다. 종목의 개수만 세어서는 실제 분산 정도를 알 수 없다는 것이다.

열 종목이 모두 떨어진 날, 반드시 “사실은 하나만 산 것”이라고 결론 내릴 수는 없다. 그러나 생각했던 열 개보다 훨씬 적은 수의 공통 위험에 노출돼 있었을 가능성은 확인해야 한다.

분산투자의 핵심은 종목 수 자체가 아니라 비중과 공분산 구조다. 독립성은 분산효과를 설명하기 쉬운 특별한 경우일 뿐, 반드시 필요한 조건은 아니다.

참고 문헌

이 글은 학술 문헌의 핵심 개념을 소개하기 위한 것이다. 각 연구의 결과는 사용한 가정, 위험의 정의, 표본 기간과 분석 방법에 따라 달라질 수 있으며 특정 투자전략을 권유하지 않는다.