유리한 게임은 반복할수록 돈을 벌 확률이 커진다 — 더하기의 세계

“단기적으로는 오르내려도 길게 보면 괜찮다.”

유리한 게임은 반복할수록 돈을 벌 확률이 커진다 — 더하기의 세계

반복하면 왜 더 유리해질까

“단기적으로는 오르내려도 길게 보면 괜찮다.”

평균적으로 돈을 벌 수 있는 장사나 투자를 이야기할 때 흔히 듣는 말이다. 실제로 한 번의 기대손익이 양수인 게임을 같은 조건에서 독립적으로 반복할 수 있다면, 반복 횟수가 늘어날수록 최종적으로 돈을 벌 확률은 커진다.

결론은 우리의 직관과 같다. 이 글의 목적은 그 직관을 뒤집는 것이 아니라, 왜 그런 결과가 나오는지를 수학으로 확인하는 것이다.

핵심은 두 가지 증가 속도의 차이에 있다.

누적 기대손익은 반복 횟수 $n$ 에 비례해 커진다.
누적 손익의 표준편차는 $n$ 에 비례해 커진다.

둘 다 커지지만 기대손익이 더 빠르게 커진다. 그래서 게임이 유리하다면 판수가 늘어날수록 손실 구간은 평균에서 점점 멀어지고, 돈을 벌 확률은 높아진다.

먼저 기댓값이 0인 단순한 장사를 통해 반복할 때 흔들림이 어떻게 변하는지 살펴본다. 그다음 기댓값이 양수인 두 예제에서 실제로 손실 확률이 얼마나 줄어드는지 확인한다.

1963년의 내기

경제학자 폴 사무엘슨은 1963년 발표한 짧은 논문에서 동료와 나눈 대화를 소개했다. 동전의 앞면이 나오면 200달러를 받고, 뒷면이 나오면 100달러를 잃는 내기였다.

동료는 한 번의 내기는 거절했지만, 같은 내기를 100번 할 수 있다면 받아들이겠다고 말했다.

한 판의 기대이익은 50달러다.

\frac{200 + ( - 100 )}{2} = 50

따라서 “한 번은 싫지만 100번이라면 하겠다”는 반응은 자연스럽게 들린다. 한 번만 하면 돈을 잃을 확률이 50%지만, 같은 내기를 100번 묶으면 최종적으로 손실을 볼 확률이 매우 작아지기 때문이다.

다만 여기서 조심해야 한다. 사무엘슨이 다룬 문제는 단순히 100번 했을 때 손실 확률이 얼마인가가 아니었다. 그의 핵심 질문은 다음과 같았다.

재산 수준이 조금 달라져도 한 번의 내기를 계속 거절하는 사람이, 같은 내기의 100회 묶음을 받아들이는 것은 기대효용 이론 안에서 일관된가?

사무엘슨의 원래 논문은 이러한 선택이 기대효용 이론에서 일관적인지를 다룬다. 그러나 이 글에서 확인하려는 것은 더 단순하다. 100번 반복했을 때 손실 확률이 실제로 얼마나 낮아지며, 그런 변화가 왜 생기는가? 이를 계산하려면 먼저 반복할 때 누적 손익의 흔들림이 어떻게 변하는지 알아야 한다.

붕어빵 장사의 모형

김 사장님이 붕어빵 노점을 운영한다고 하자. 현실의 날씨와 장사는 훨씬 복잡하지만, 계산을 위해 다음과 같이 단순화한다.

좋은 날에는 10만원을 번다.
나쁜 날에는 10만원을 잃는다.
두 결과의 확률은 각각 50%다.
각 날의 결과는 서로 독립이다.

이 장사는 좋은 날과 나쁜 날의 크기와 확률이 정확히 같으므로 하루 기대손익이 0이다. 돈을 버는 데 유리한 장사가 아니라, 반복에 따른 흔들림만 관찰하기 위한 기준점이다.

100일 동안 반복하면 누적 손익과 하루당 평균의 흔들림은 각각 어떻게 변할까?

먼저 ‘흔들림’을 정의하자

최선과 최악의 차이만 보면 하루의 범위는 −10만원에서 +10만원까지이므로 20만원이다. 100일의 범위는 −1,000만원에서 +1,000만원까지이므로 2,000만원이다.

하지만 이 범위는 거의 일어나지 않는 극단까지 똑같이 취급한다. 예를 들어 100일 내내 손실이 날 확률은

(\frac{1}{2})^{100} \approx 7.9 \times 1 0^{- 31}

이다. 0은 아니지만, 일상적인 위험을 설명하기에는 지나치게 작은 확률이다.

그래서 최악과 최선의 간격 대신 결과가 평균 주위에 얼마나 퍼지는지를 재는 표준편차를 사용하자. 이 글에서는 표준편차를 편의상 ‘흔들림’이라고 부르겠다.

하루의 흔들림

하루 손익을 만원 단위로 적으면 가능한 결과는 다음과 같다.

날의 상태	손익	확률
좋은 날	+10	1/2
나쁜 날	−10	1/2

하루 평균, 즉 기댓값은 0이다.

μ_{1} = \frac{10 + ( - 10 )}{2} = 0

평균에서 벗어난 값을 그대로 더하면 양수와 음수가 상쇄된다. 그래서 편차를 제곱한 뒤 평균을 내어 분산을 구한다.

σ_{1}^{2} = \frac{( 10 - 0 ) ^{2} + ( - 10 - 0 ) ^{2}}{2} = 100

분산의 단위는 만원²이다. 다시 원래 돈의 단위로 돌아오기 위해 제곱근을 취한다.

σ_{1} = 100 = 10

따라서 하루 손익의 흔들림은 10만원이다.

이틀의 흔들림

이틀 동안 가능한 결과는 네 가지다.

첫날	둘째 날	합계	확률
좋은 날	좋은 날	+20	1/4
좋은 날	나쁜 날	0	1/4
나쁜 날	좋은 날	0	1/4
나쁜 날	나쁜 날	−20	1/4

평균은 여전히 0이고, 분산과 표준편차는 다음과 같다.

σ_{2}^{2} = \frac{2 0 ^{2} + 0 ^{2} + 0 ^{2} + ( - 20 ) ^{2}}{4} = 200

σ_{2} = 200 = 102 \approx 14.1

이틀 누적 손익의 흔들림은 약 14만원이다. 하루보다 작아진 것이 아니라 커졌다. 다만 10만원의 두 배인 20만원까지 커지지는 않았다. 서로 반대인 두 날의 손익이 상쇄되는 경우가 있기 때문이다.

여기서 중요한 규칙이 나온다. 서로 독립인 확률변수들을 더하면 분산은 더해진다.

Var (X_{1} + X_{2}) = Var (X_{1}) + Var (X_{2})

표준편차가 그대로 더해지는 것은 아니다. 분산을 더한 뒤 마지막에 제곱근을 취한다.

100일의 누적 손익

하루 손익을 $X_{i}$ , 100일 누적 손익을

S_{100} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{100}

이라고 하자. 각 날의 결과가 독립이고 분산이 모두 100이므로

Var (S_{100}) = 100 \times 100 = 10, 000

이다. 따라서 누적 손익의 표준편차는

SD (S_{100}) = 10, 000 = 100

만원이다.

일반적으로 한 판의 평균이 $μ_{1}$ , 표준편차가 $σ_{1}$ 이고 각 판이 서로 독립이라면, $n$ 판 누적 손익 $S_{n}$ 은

E [S_{n}] = n μ_{1}, SD (S_{n}) = σ_{1} n

을 만족한다.

즉 붕어빵 장사를 100일 하면

E [S_{100}] = 0, SD (S_{100}) = 100 만원

이다. 좋은 날과 나쁜 날은 실제로 서로 상쇄된다. 그러나 기댓값이 0이므로 이익 쪽으로 이동하는 힘도 없다. **누적 손익의 표준편차는 $n$ 에 비례해 커지지만, 누적 기대손익은 계속 0에 머문다.** 따라서 오래 반복해도 돈을 벌 확률이 특별히 높아지지 않는다.

‘평균 ± 표준편차’는 무엇을 뜻할까

100일 누적 손익의 평균은 0원이고 표준편차는 100만원이므로

0 \pm 100 만원

을 하나의 대표적인 범위로 볼 수 있다.

다만 이 범위를 곧바로 “항상 결과의 68%가 들어오는 구간”이라고 말하면 정확하지 않다. 68%는 정규분포에서 성립하는 규칙이다. 100일 손익은 이항분포를 변형한 이산적인 분포이므로 정규분포와 비슷하지만 완전히 같지는 않다.

이 예에서 −100만원 이상 +100만원 이하가 되려면 좋은 날이 45일에서 55일 사이여야 한다. 정확한 확률은 약 72.9%다. 구간의 양 끝을 어떻게 포함하느냐에 따라서도 수치가 달라진다.

따라서 앞으로 $μ \pm σ$ 는 평균을 중심으로 표준편차 한 개만큼 떨어진 대표 구간이라는 뜻으로 사용하자. 정확한 손실 확률이 필요할 때는 해당 분포를 직접 계산해야 한다.

그렇다면 큰 수의 법칙은 무엇을 말할까

100일 누적 손익을 100으로 나누면 하루당 평균 손익이 된다.

\overset{ˉ}{X}_{100} = \frac{S _{100}}{100}

누적 손익의 표준편차가 100만원이므로, 하루당 평균 손익의 표준편차는

SD (\overset{ˉ}{X}_{100}) = \frac{100}{100} = 1 만원

이다. 일반식은 다음과 같다.

SD (S_{n}) = σ_{1} n, SD (\overset{ˉ}{X}_{n}) = \frac{σ _{1}}{n}

측정 대상	하루	100일
누적 손익의 표준편차	10만원	100만원
하루당 평균 손익의 표준편차	10만원	1만원

같은 100일의 결과를 보면서도 하나는 커지고 다른 하나는 작아진다. 모순이 아니다. 측정 대상이 다르기 때문이다.

누적 손익은 계속 더해지므로 흔들림이 $n$ 만큼 커진다.
한 번당 평균은 누적 손익을 다시 $n$ 으로 나누므로 흔들림이 $1/ n$ 만큼 작아진다.

큰 수의 법칙은 적절한 조건에서 $\overset{ˉ}{X}_{n}$ 이 $μ_{1}$ 에 가까워진다고 말한다. 표본평균의 분산이 $σ_{1}^{2} / n$ 으로 줄어드는 계산은 그 수렴을 이해하는 핵심 단서다. 그러나 이 분산 공식 자체가 큰 수의 법칙 전부인 것은 아니다.

따라서 “오래 하면 안정된다”는 말에서 안정되는 것은 한 번당 평균 성과다.

한 번당 평균 성과는 안정된다.
누적 손익의 절대적인 금액은 더 크게 흔들릴 수 있다.

기댓값이 0인 장사에서는 한 번당 평균이 0에 가까워질 뿐, 최종 손익이 플러스 쪽으로 이동하지 않는다. 이제 기댓값이 양수인 사무엘슨의 내기와 비교해보자.

사무엘슨의 내기를 계산해보자

이제 앞면 +200달러, 뒷면 −100달러인 내기를 100번 반복해보자.

한 판의 평균은

μ_{1} = \frac{200 + ( - 100 )}{2} = 50

달러다. 두 결과는 평균에서 각각 150달러만큼 떨어져 있으므로 한 판의 표준편차는

σ_{1} = \frac{( 200 - 50 ) ^{2} + ( - 100 - 50 ) ^{2}}{2} = 150

달러다.

100판 누적 손익의 평균과 표준편차는

E [S_{100}] = 100 \times 50 = 5, 000

SD (S_{100}) = 150100 = 1, 500

달러다. 따라서 평균을 중심으로 표준편차 한 개만큼의 대표 구간은

5, 000 \pm 1, 500 = 3, 500 \sim 6, 500 달러

다.

그러나 손실 확률을 알고 싶다면 이 구간만 보고 “3표준편차 이상이므로 0.1% 미만”이라고 계산해서는 안 된다. 정규근사는 대략적인 감각만 주며, 이 문제는 이항분포로 정확히 계산할 수 있다.

100판 중 이긴 횟수를 $W$ 라고 하면 누적 손익은

200 W - 100 (100 - W) = 300 W - 10, 000

이다. 손실이 나려면 $W \leq 33$ 이어야 한다. 따라서

P (S_{100} < 0) = P (W \leq 33), W \sim Binomial (100, 0.5)

이고, 그 확률은 약 0.043%다. 대략 2,300번에 한 번꼴이다.

반복하면서 누적 손익의 표준편차는 한 판의 150달러에서 1,500달러로 커졌다. 그런데 평균은 50달러에서 5,000달러로 더 빠르게 이동했다. 일반적으로 평균은 $n$ 에 비례해 커지고, 표준편차는 $n$ 에 비례해 커진다. 그래서 판수가 늘수록 평균이 표준편차에 비해 더 멀리 앞서간다.

\frac{E [ S _{n} ]}{SD ( S _{n} )} = \frac{n μ _{1}}{σ _{1} n} = \frac{μ _{1}}{σ _{1}} n

이 내기에서 100회 묶음의 손실 확률이 매우 낮은 이유는 “누적 손익의 흔들림이 줄었기 때문”이 아니다. 양의 기대이익이 흔들림보다 더 빠르게 누적되기 때문이다.

100번 반복하면 실제로 유리해진다

확률만 놓고 보면 한 번의 내기와 100번의 내기는 분명히 다르다.

한 번만 하면 돈을 잃을 확률은 50%다.

하지만 100번 반복하면 최종 손실 확률은 약 0.043%까지 낮아진다. 반대로 말하면 최종적으로 돈을 벌 확률은 약 99.957%다.

반복해서 유리해진 이유는 손익의 흔들림이 사라졌기 때문이 아니다. 표준편차는 150달러에서 1,500달러로 오히려 커졌다. 그러나 기대이익은 50달러에서 5,000달러로 더 빠르게 커졌다. 그 결과 손실이 발생하는 0달러 아래 구간이 평균에서 멀어졌다.

이것이 더하기 세계에서 반복이 유리하게 작용하는 원리다.

누적 기대손익 = n μ_{1}

누적 손익의 표준편차 = σ_{1} n

$n$ 이 커질수록 $n$ 은 $n$ 보다 빠르게 증가한다. 따라서 $μ_{1} > 0$ 인 게임에서는 기대이익이 흔들림을 앞질러 간다.

물론 실제로 내기를 받아들일지는 보유 자금과 손실 감내 능력 등에 따라 달라질 수 있다. 하지만 이 글이 다루는 최종 손익의 확률만 보면, 100번의 묶음이 한 번의 내기보다 훨씬 유리하다는 것은 분명하다.

마지막 문제 — 기대값이 플러스인 장사

이번에는 좋은 날 +15만원, 나쁜 날 −10만원이고 두 결과의 확률이 각각 50%라고 하자.

한 날의 평균과 표준편차는

μ_{1} = \frac{15 + ( - 10 )}{2} = 2.5

σ_{1} = \frac{( 15 - 2.5 ) ^{2} + ( - 10 - 2.5 ) ^{2}}{2} = 12.5

만원이다. 100일 누적 손익은

E [S_{100}] = 100 \times 2.5 = 250

SD (S_{100}) = 12.5 100 = 125

만원이다. 평균을 중심으로 표준편차 한 개만큼의 구간은

250 \pm 125 = 125 \sim 375 만원

으로 모두 플러스다. 그러나 이 구간 바깥의 결과도 얼마든지 가능하다.

100일 중 좋은 날의 수를 $W$ 라고 하면 누적 손익은

15 W - 10 (100 - W) = 25 W - 1, 000

만원이다. 적자가 되려면

25 W - 1, 000 < 0

즉 $W \leq 39$ 여야 한다. 이는 나쁜 날이 61일 이상이라는 뜻이다. 정확한 확률은

P (W \leq 39), W \sim Binomial (100, 0.5)

으로 약 1.76%다. 대략 57명 중 한 명꼴이다.

이 예제에서도 직관과 계산은 일치한다. 하루 기대손익이 +2.5만원인 장사를 100일 반복하면 적자로 끝날 확률은 약 1.76%다. 정확히 본전으로 끝날 확률은 약 1.08%이고, 흑자로 끝날 확률은 약 97.16%다. 적자가 아닐 확률은 약 98.24%다.

기댓값이 플러스라는 말이 손실 가능성이 완전히 사라진다는 뜻은 아니다. 그러나 같은 조건으로 반복할 수 있다면 판수가 늘어날수록 손실 확률은 0에 가까워지고, 돈을 벌 확률은 1에 가까워진다.

유리한 게임은 반복할수록 이길 가능성이 커진다

고정된 금액의 손익이 독립적으로 더해지는 세계에서 결론은 분명하다. 한 판의 기댓값이 양수라면, 같은 게임을 반복할수록 최종적으로 돈을 벌 확률은 커진다.

첫째, **누적 기대손익은 $n$ 에 비례한다.**

E [S_{n}] = n μ_{1}

둘째, **누적 손익의 표준편차는 $n$ 에 비례한다.** 반복한다고 누적 금액의 흔들림이 사라지는 것은 아니다.

SD (S_{n}) = σ_{1} n

셋째, **한 번당 평균의 표준편차는 $1/ n$ 에 비례해 줄어든다.** 큰 수의 법칙이 다루는 대상은 바로 이 평균이다.

SD (\overset{ˉ}{X}_{n}) = \frac{σ _{1}}{n}

기댓값이 양수라면 평균은 $n$ 의 속도로 이익 쪽으로 이동하고, 흔들림은 $n$ 의 속도로 커진다. 적절한 독립성·동일분포·유한분산 등의 조건 아래에서는 이 때문에 손실 확률이 점차 작아진다.

따라서 더하기 세계에서는 “유리한 일을 길게 하면 돈을 벌 가능성이 커진다”는 직관이 맞다. 다만 이 결론을 현실의 사업이나 투자에 적용하려면 다음 전제가 유지되는지 확인해야 한다.

손익의 확률과 크기가 계속 같다는 보장이 없다.
나쁜 날들이 서로 독립적이지 않을 수 있다.
추정한 기댓값 자체가 틀릴 수 있다.
반복이 끝나기 전에 자금이 고갈될 수 있다.
손실이 고정 금액이 아니라 현재 자산의 비율로 발생할 수 있다.

이 조건들이 유지되는 고정 금액의 더하기 게임에서는 반복이 유리한 게임의 힘을 드러낸다. 사무엘슨의 내기는 한 번이면 손실 확률이 50%지만, 100번이면 약 0.043%다. 개선된 붕어빵 장사도 100일 뒤 흑자로 끝날 확률이 약 97.16%다.

하지만 주식 계좌의 수익률은 대개 고정 금액을 더하는 방식이 아니라 현재 자산에 비율을 곱하는 방식으로 누적된다. −50% 뒤에 +50%가 와도 원금으로 돌아오지 않는다.

따라서 더하기의 세계에서 확인한 결론을 수익률이 곱해지는 세계에 그대로 옮길 수는 없다. 곱하기 세계에서는 어떤 평균을 사용해야 하며, 반복이 자산에 어떤 결과를 만드는지 다시 계산해야 한다.

그 이야기는 다음 편에서 이어진다.

편집 메모

이 글의 계산은 각 시행이 독립이고 결과의 확률 및 금액이 변하지 않는다는 단순화된 모형에 기반한다. $μ \pm σ$ 는 설명을 위한 대표 구간이며, 정확한 확률 구간이나 보증 범위가 아니다. 손실 확률은 정규근사가 아니라 이항분포로 계산했다.

사무엘슨 일화의 원전은 Paul A. Samuelson, “Risk and Uncertainty: A Fallacy of Large Numbers”(1963)이다. 이후 논의에서는 한 번의 내기를 거절하면서 반복 묶음을 받아들이는 선택이 어떤 효용함수 아래에서 일관될 수 있는지를 두고 반론과 확장이 이어졌다.