[통계와 투자 03] 얼마씩 사야 가장 좋을까 — 마코위츠 포트폴리오 최적화

앞선 글에서는 삼성전자, SK하이닉스, NAVER 세 종목을 똑같이 나누어 샀다.

w = 1/3 1/3 1/3

그리고 기대수익률과 변동성, 종목 사이의 상관관계를 이용해 포트폴리오의 변동성을 계산했다.

그 결과 개별 종목 변동성의 단순 평균은 25%였지만, 포트폴리오 전체의 변동성은 약 19.7%로 낮아졌다.

여기까지 오면 자연스럽게 다음 질문이 생긴다.

그런데 왜 꼭 세 종목을 똑같이 사야 할까?

삼성전자 60%, SK하이닉스 20%, NAVER 20%로 살 수도 있다.

w = 0.6 0.2 0.2

반대로 SK하이닉스에 훨씬 큰 비중을 둘 수도 있다.

w = 0.1 0.7 0.2

같은 세 종목인데도 투자비중을 바꾸면 수많은 포트폴리오를 만들 수 있다.

그렇다면 그 많은 조합 중에서 어떤 비중이 가장 좋은가?

바로 이 질문에서 포트폴리오 최적화가 시작된다.

위험을 계산하는 것과 최적화하는 것은 다르다

앞선 글에서는 투자비중이 이미 정해져 있었다.

w = 1/3 1/3 1/3

그러니 그 값을 넣어 기대수익률과 위험을 계산하기만 하면 됐다.

포트폴리오의 기대수익률은

E (R_{p}) = w^{⊤} μ

이고,

포트폴리오 분산은

σ_{p}^{2} = w^{⊤} Σ w

이다.

여기서 $μ$ 는 각 종목의 기대수익률이고, $Σ$ 는 각 종목의 분산과 종목 사이의 공분산을 담은 행렬이다.

앞선 글에서 사용했던 가정값을 그대로 이용하면

μ = 0.08 0.12 0.10

이다.

삼성전자 8%, SK하이닉스 12%, NAVER 10%의 기대수익률을 가정한 것이다.

그리고 변동성과 상관계수로부터 공분산 행렬을 만들면

Σ = 0.0400 0.0480 0.0150 0.0480 0.0900 0.0150 0.0150 0.0150 0.0625

가 된다.

이제 $w$ 만 정하면 수익과 위험을 모두 계산할 수 있다.

그런데 이번에는 $w$ 를 먼저 정하지 않는다.

오히려 **우리가 찾고 싶은 값이 $w$ 다.**

즉 문제의 방향이 뒤집힌다.

“이 비중의 위험은 얼마인가?”

에서

“어떤 비중을 선택해야 위험이 가장 작은가?”

로 바뀌는 것이다.

가장 덜 흔들리는 포트폴리오를 찾아보자

가장 단순하게 생각하면 목표는 분명하다.

포트폴리오의 변동성을 최대한 줄이면 된다.

그러면 최적화 문제는

w min w^{⊤} Σ w

가 된다.

단, 투자한 돈의 합은 100%여야 하므로

i \sum w_{i} = 1

이라는 조건을 붙인다.

공매도를 하지 않는다면

w_{i} \geq 0

이라는 조건도 추가한다.

이제 컴퓨터는 가능한 수많은 투자비중을 비교해 그중 $w^{⊤} Σ w$ 가 가장 작은 조합을 찾는다.

이렇게 얻은 포트폴리오를 글로벌 최소분산 포트폴리오(Global Minimum Variance Portfolio)라고 한다.

말 그대로 만들 수 있는 포트폴리오 중 가장 덜 흔들리는 포트폴리오다.

실제로 세 종목의 비중을 최적화해보자

앞서 사용한 삼성전자·SK하이닉스·NAVER의 가정값을 그대로 사용해보자.

공매도는 하지 않고 투자비중의 합을 100%로 제한한 뒤, 오직 포트폴리오 분산만 최소화해보면 이 가정에서는 대략 다음과 같은 비중이 나온다.

w_{GMV} \approx 0.655 0 0.345

즉 삼성전자 약 65.5%, SK하이닉스 0%, NAVER 약 34.5%다.

이 포트폴리오의 변동성은 약

17.7%

까지 낮아진다.

앞에서 동일비중으로 투자했을 때의 변동성이 약 19.7%였으므로 위험만 놓고 보면 더 나은 조합을 찾은 셈이다.

그런데 문제가 하나 생긴다.

이 포트폴리오의 기대수익률을 계산하면

E (R_{p}) = 0.655 (0.08) + 0 (0.12) + 0.345 (0.10)

이고,

E (R_{p}) \approx 0.0869

즉 약 8.7%다.

위험은 낮아졌지만 기대수익률도 낮아졌다.

여기서 중요한 사실이 드러난다.

가장 위험이 작은 포트폴리오가 반드시 투자자에게 가장 좋은 포트폴리오는 아니다.

나는 10%는 벌고 싶은데?

투자가 단순히 흔들리지 않는 것이 목표라면 최소분산 포트폴리오를 선택하면 된다.

하지만 투자자는 보통 수익도 원한다.

예를 들어 이렇게 말한다고 해보자.

“나는 적어도 10%의 기대수익률은 원한다. 그 조건에서 가장 위험이 작은 비중을 찾아줘.”

그러면 최적화 문제에 새로운 조건을 붙인다.

w min w^{⊤} Σ w

단,

w^{⊤} μ = 0.10

i \sum w_{i} = 1

w_{i} \geq 0

이다.

첫 번째 식은 위험을 최소화하라는 뜻이고,

두 번째 식은 기대수익률 10%를 맞추라는 조건이다.

이제 최적화는 아무리 안전하더라도 기대수익률이 10%보다 낮은 포트폴리오는 후보에서 제외한다.

그리고 남은 포트폴리오들 중 가장 위험이 작은 비중을 찾는다.

앞에서 사용한 가정값으로 계산하면 대략

w^{*} \approx 0.267 0.267 0.466

가 나온다.

즉 삼성전자 약 26.7%, SK하이닉스 약 26.7%, NAVER 약 46.6%다.

이 비중의 기대수익률은

0.267 (8%) + 0.267 (12%) + 0.466 (10%) \approx 10%

이고, 변동성은 약

19.27%

다.

재미있는 점은 동일비중 포트폴리오도 기대수익률이 10%였다는 것이다.

동일비중에서는

w = 1/3 1/3 1/3

였고 변동성이 약

19.68%

였다.

그런데 비중을 최적화하자 같은 10%의 기대수익률을 유지하면서 변동성이

19.68% \to 19.27%

로 조금 더 낮아졌다.

차이가 엄청나게 크지는 않다.

하지만 바로 이것이 최적화가 하는 일이다.

종목을 새로 찾은 것이 아니다. 같은 세 종목 안에서 비중을 바꿔 조금 더 효율적인 조합을 찾아낸 것이다.

목표수익률을 바꾸면 답도 바뀐다

그런데 왜 목표수익률을 꼭 10%로 정해야 할까?

어떤 투자자는 8%면 충분할 수 있고, 어떤 투자자는 11%를 원할 수도 있다.

그래서 목표 기대수익률을 조금씩 바꿔가며 같은 최적화를 반복할 수 있다.

목표가 8%라면 그 수익률에서 위험이 가장 작은 비중을 찾고,

목표가 9%라면 다시 새로운 비중을 찾는다.

10%, 11%, 12%도 마찬가지다.

각 목표수익률마다 다음 문제를 반복해서 푸는 것이다.

w min w^{⊤} Σ w

단,

w^{⊤} μ = μ_{target}

이다.

그러면 각각의 목표수익률에 대해 그 수익률을 얻기 위해 감수해야 하는 최소 위험이 하나씩 나온다.

이 점들을 위험과 기대수익률을 축으로 하는 그래프 위에 표시하면 하나의 경계선이 만들어진다.

바로 효율적 프런티어(Efficient Frontier)다.

효율적이라는 것은 무엇일까

두 포트폴리오가 있다고 하자.

둘 다 기대수익률은 10%다.

그런데 A의 변동성은 18%이고 B의 변동성은 24%다.

그렇다면 굳이 B를 선택할 이유가 없다.

똑같은 기대수익을 얻는데 A가 덜 위험하기 때문이다.

반대로 변동성이 똑같이 18%인데 A의 기대수익률은 10%, B는 8%라면 이번에도 B는 선택할 이유가 없다.

그래서 효율적 프런티어 위에 있는 포트폴리오는 한 가지 특징을 가진다.

같은 수익을 얻으면서 더 위험이 낮은 포트폴리오가 없거나, 같은 위험을 감수하면서 더 높은 기대수익을 주는 포트폴리오가 없다.

마코위츠 최적화의 목적은 단순히 가장 안전한 포트폴리오 하나를 찾는 것이 아니다.

투자자가 원하는 수익과 감당할 위험 사이에서 선택할 수 있는 가장 효율적인 조합들을 찾아내는 것이다.

결국 최적화는 ‘얼마씩 살까’를 푸는 문제다

포트폴리오 위험은

σ_{p}^{2} = w^{⊤} Σ w

로 계산할 수 있다.

기대수익률도

E (R_{p}) = w^{⊤} μ

로 계산할 수 있다.

최적화가 필요한 이유는 이 두 값을 계산하기 위해서가 아니다.

**투자비중 $w$ 를 결정하기 위해서다.**

종목이 세 개뿐이어도 가능한 비중은 매우 많다.

종목이 수십 개, 수백 개가 되면 사람이 모든 조합을 하나씩 비교하는 것은 사실상 불가능하다.

그래서 문제는

위험과 수익을 계산한다 \to 비중을 변화시킨다 \to 조건에 가장 적합한 비중을 찾는다

라는 최적화 문제로 바뀐다.

마코위츠가 분산투자를 한 단계 발전시킨 지점도 여기에 있다.

“무엇을 살 것인가?”

에서 끝나는 것이 아니라,

“선택한 자산을 얼마씩 살 것인가?”

까지 수학의 문제로 만든 것이다.

그런데 요즘도 이 방법을 그대로 사용할까

마코위츠의 기본 구조는 지금도 포트폴리오 최적화의 출발점으로 남아 있다.

하지만 현실에서는 원래의 평균-분산 최적화를 아무 수정 없이 사용하는 것보다 입력값의 추정오차와 현실적인 제약조건을 보완한 형태가 많이 사용된다.

가장 큰 문제는 최적화에 집어넣는 기대수익률 $μ$ 와 공분산 행렬 $Σ$ 를 미래에 대해 정확히 알 수 없다는 점이다.

특히 기대수익률을 조금만 다르게 추정해도 최적화된 비중이 크게 달라질 수 있다.

그래서 Black–Litterman 모형은 시장의 균형수익률과 투자자의 전망을 결합해 기대수익률 추정의 불안정성을 줄이려 한다.

종목 수가 많고 데이터가 부족하면 표본 공분산 행렬도 불안정해질 수 있다.

Ledoit–Wolf Shrinkage는 표본 공분산 행렬을 보다 안정적인 구조 쪽으로 축소해 이런 문제를 완화하는 대표적인 방법이다.

Robust Optimization은 기대수익률과 공분산이 정확한 하나의 값이라고 가정하지 않고, 어느 정도의 추정오차가 존재할 수 있다는 전제에서 포트폴리오를 구성한다.

Risk Parity는 미래 기대수익률을 정확히 예측하는 대신 각 자산이 포트폴리오 전체 위험에 얼마나 기여하는지에 초점을 둔다.

또한 CVaR 최적화처럼 분산 대신 큰 손실이 발생하는 꼬리위험에 더 집중하는 방법도 사용된다.

최근에는 머신러닝을 이용해 기대수익률, 변동성, 공분산, 시장 국면 등을 추정한 뒤 기존의 포트폴리오 최적화와 결합하는 연구도 활발하다.

즉 현대의 포트폴리오 이론은 마코위츠를 버린 것이 아니다.

오히려

Markowitz + 더 안정적인 추정 + 현실적인 제약 + 다양한 위험척도

로 확장되어 왔다고 보는 편이 정확하다.

70년이 넘게 지났지만 기본적인 질문은 여전히 남아 있다.

“어떤 자산을 얼마씩 보유할 것인가?”

다만 현대 투자에서는 그 질문 뒤에 하나가 더 붙는다.

“그 계산에 넣은 숫자를 우리는 얼마나 믿을 수 있는가?”

그리고 바로 여기서 다음 문제가 시작된다.

앞에서는 삼성전자 8%, SK하이닉스 12%, NAVER 10%라는 기대수익률을 이미 알고 있다고 가정했다.

하지만 현실에서는 미래의 기대수익률을 아무도 미리 알지 못한다.

그렇다면 포트폴리오 최적화에 넣을 미래 기대수익률은 도대체 어떻게 추정해야 할까?

참고문헌

Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance, 7(1), 77–91.
Black, F., & Litterman, R. (1992). Global Portfolio Optimization. Financial Analysts Journal, 48(5), 28–43.
Goldfarb, D., & Iyengar, G. (2003). Robust Portfolio Selection Problems. Mathematics of Operations Research, 28(1), 1–38.
Ledoit, O., & Wolf, M. (2004). A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices. Journal of Multivariate Analysis, 88(2), 365–411.
Maillard, S., Roncalli, T., & Teïletche, J. (2010). The Properties of Equally Weighted Risk Contribution Portfolios. The Journal of Portfolio Management, 36(4), 60–70.
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