[이론] 자동차의 움직임으로 이해하는 MACD

금융지표를 속도·가속도·저크의 언어로 다시 읽기

자동차의 움직임으로 이해하는 MACD

금융지표를 속도·가속도·저크의 언어로 다시 읽기

직선 도로 위를 자동차 한 대가 달리고 있다고 하자. 일정한 시간마다 자동차의 위치를 측정하면 다음과 같은 수열을 얻는다.

$s_{0}, s_{1}, s_{2}, \dots, s_{k}$

$s_{k}$ 는 $k$ 번째 시점에서 측정한 자동차의 위치다. 측정 간격을 $Δ t$ 라고 하면 가장 단순한 속도 추정값은 다음과 같다.

$v_{k} \approx \frac{s _{k} - s _{k - 1}}{Δ t}$

가속도는 속도를 다시 한 번 차분해 구할 수 있다.

$a_{k} \approx \frac{v _{k} - v _{k - 1}}{Δ t}$

수식은 간단하지만 실제 측정에서는 문제가 생긴다. GPS나 카메라로 측정한 위치에는 잡음이 들어가고, 차분은 작은 측정오차까지 크게 증폭한다. 가속도를 구하기 위해 두 번 차분하면 신호는 더욱 거칠어진다.

여기서 주식시장의 기술적 지표인 MACD를 다른 시각으로 바라볼 수 있다. MACD는 서로 다른 속도로 움직이는 두 지수이동평균의 차이다. 신호처리의 관점에서는 잡음을 어느 정도 평활하면서 변화 성분을 남기는 필터다.

그렇다면 자동차의 위치에 MACD를 적용하면 속도에 가까운 지표를 만들 수 있지 않을까? MACD를 한 번 더 평활한 시그널선과의 차이는 가속도에 가까운 정보를 담을 수 있지 않을까?

이 글은 MACD를 매수·매도 지표가 아니라 차량의 운동 상태를 읽는 보조 물리지표로 확장할 가능성을 살펴본다.

두 개의 기억으로 위치를 바라본다

차량의 위치 $s_{k}$ 에 기간 $n$ 의 지수이동평균을 적용하자.

$E_{k}^{(n)} = α_{n} s_{k} + (1 - α_{n}) E_{k - 1}^{(n)}$

$α_{n} = \frac{2}{n + 1}$

짧은 기간의 EMA는 현재 위치에 빠르게 반응한다. 긴 기간의 EMA는 과거 위치를 오래 기억하기 때문에 천천히 따라온다.

빠른 EMA의 기간을 $n_{f}$ , 느린 EMA의 기간을 $n_{s}$ 라고 하자. 여기서 $n_{f} < n_{s}$ 다.

위치 신호의 MACD는 다음과 같다.

$M_{k}^{(s)} = E_{k}^{(n_{f})} - E_{k}^{(n_{s})}$

자동차가 앞으로 이동하면 빠른 EMA는 현재 위치 가까이에서 움직이고, 느린 EMA는 그보다 뒤쪽에 남는다. 두 EMA 사이의 공간적 거리는 자동차가 얼마나 빠르게 이동하고 있는지에 대한 정보를 담는다.

자동차가 멈추어 충분한 시간이 지나면 두 EMA는 같은 위치로 수렴한다.

$E_{k}^{(n_{f})} = E_{k}^{(n_{s})} = s$

따라서 MACD는 0이 된다.

$M_{k}^{(s)} = 0$

차량이 일정한 속도로 달리면 빠른 EMA와 느린 EMA 사이에는 일정한 간격이 형성된다. 속도가 빨라질수록 두 EMA 사이의 간격도 커진다.

이 관점에서 위치 MACD는 두 개의 가상 추종점 사이의 거리다. 하나는 차량을 빠르게 따라가고, 다른 하나는 느리게 따라간다. 두 추종점 사이의 거리가 속도의 대리변수가 된다.

MACD 필터에는 차분이 숨어 있다

지수이동평균을 $z$ 변환으로 표현하면 다음과 같다.

$G_{α} (z) = \frac{α}{1 - ( 1 - α ) z ^{- 1}}$

빠른 EMA와 느린 EMA의 차이인 MACD 필터는 다음과 같다.

$G_{M} (z) = \frac{α _{f}}{1 - ( 1 - α _{f} ) z ^{- 1}} - \frac{α _{s}}{1 - ( 1 - α _{s} ) z ^{- 1}}$

식을 하나로 합치면 분자에 다음 인수가 나타난다.

$G_{M} (z) = \frac{( α _{f} - α _{s} ) ( 1 - z ^{- 1} )}{[ 1 - ( 1 - α _{f} ) z ^{- 1} ] [ 1 - ( 1 - α _{s} ) z ^{- 1} ]}$

핵심은 $1 - z^{- 1}$ 이다. 이것은 이산시간에서 1차 차분을 나타낸다.

$(1 - z^{- 1}) s_{k} = s_{k} - s_{k - 1}$

따라서 MACD는 두 개의 평활 필터를 단순히 뺀 지표이면서 동시에 평활된 1차 차분기의 구조를 가진다.

$z = 1$ 을 대입하면 MACD 필터의 응답은 0이 된다.

$G_{M} (1) = 0$

즉 움직이지 않는 일정한 위치, 다시 말해 직류 성분은 제거된다. 반면 시간에 따라 변하는 위치 성분은 남는다. 위치를 입력했을 때 MACD가 속도와 비슷한 정보를 갖는 이유다.

위치 MACD에서 속도를 추정한다

EMA의 평활계수가 $α$ 일 때 평균적인 시간 지연을 표본 수로 표현하면 다음과 같다.

$τ = \frac{1 - α}{α}$

$α_{n} = \frac{2}{n + 1}$ 을 사용하면 다음처럼 단순해진다.

$τ_{n} = \frac{n - 1}{2}$

빠른 EMA와 느린 EMA의 평균 지연 차이는 다음과 같다.

$Δ τ = τ_{s} - τ_{f} = \frac{n _{s} - n _{f}}{2}$

차량의 속도가 필터의 시간척도에 비해 천천히 변한다고 가정하면 위치 MACD는 다음과 같이 근사할 수 있다.

$M_{k}^{(s)} \approx Δ τ Δ t v_{k}$

따라서 속도는 다음과 같이 추정할 수 있다.

$\overset{v}{^}_{k} \approx \frac{M _{k}^{(s)}}{Δ τ Δ t}$

$Δ τ = \frac{n _{s} - n _{f}}{2}$ 를 대입하면 다음과 같다.

$\overset{v}{^}_{k} \approx \frac{2 M _{k}^{(s)}}{( n _{s} - n _{f} ) Δ t}$

표준 MACD의 기간인 $n_{f} = 12$ , $n_{s} = 26$ 을 사용하면 $Δ τ = 7$ 이다.

$\overset{v}{^}_{k} \approx \frac{M _{k}^{(s)}}{7Δ t}$

예를 들어 위치를 0.1초마다 측정하고 자동차가 일정한 속도 20미터 매초로 달린다고 하자. 초기 과도응답이 사라지면 위치 MACD는 대략 다음 값에 가까워진다.

$M_{k}^{(s)} \approx 7 \times 0.1 \times 20 = 14 미터$

이를 다시 속도로 환산하면 다음과 같다.

$\overset{v}{^}_{k} \approx \frac{14}{7 \times 0.1} = 20 미터 매초$

위치 MACD의 단위는 여전히 미터다. 그러나 두 EMA의 시간 지연 차이로 나누면 미터 매초라는 속도의 단위를 얻는다.

이 해석은 MACD를 단순한 차트 모양이 아니라 보정 가능한 물리량 추정기로 바라보게 한다.

히스토그램에는 2차 차분이 숨어 있다

MACD선에 기간 $n_{p}$ 의 EMA를 한 번 더 적용하면 시그널선이 된다.

$S_{k} = EMA_{n_{p}} (M_{k}^{(s)})$

히스토그램은 MACD선과 시그널선의 차이다.

$H_{k}^{(s)} = M_{k}^{(s)} - S_{k}$

기간 $n_{p}$ 의 시그널 EMA에 대한 평활계수를 $α_{p}$ 라고 하면, MACD에서 시그널선을 빼는 필터는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$1 - G_{α_{p}} (z) = \frac{( 1 - α _{p} ) ( 1 - z ^{- 1} )}{1 - ( 1 - α _{p} ) z ^{- 1}}$

MACD 필터에 이미 $1 - z^{- 1}$ 이 하나 들어 있었으므로 히스토그램 필터에는 다음 인수가 포함된다.

$(1 - z^{- 1})^{2}$

이것은 2차 차분의 구조다.

$(1 - z^{- 1})^{2} s_{k} = s_{k} - 2 s_{k - 1} + s_{k - 2}$

위치의 1차 차분이 속도라면, 위치의 2차 차분은 가속도와 연결된다. 따라서 위치 MACD의 히스토그램은 평활된 가속도 지표로 해석할 수 있다.

시그널 EMA의 평균 지연을 다음과 같이 두자.

$τ_{p} = \frac{n _{p} - 1}{2}$

차량의 운동이 필터 시간척도보다 충분히 느리게 변한다면 다음 근사가 성립한다.

$H_{k}^{(s)} \approx τ_{p} Δ τ (Δ t)^{2} a_{k}$

따라서 가속도 추정값은 다음과 같다.

$\overset{a}{^}_{k} \approx \frac{H _{k}^{(s)}}{τ _{p} Δ τ ( Δ t ) ^{2}}$

표준 설정인 12·26·9에서는 $Δ τ = 7$ , $τ_{p} = 4$ 이므로 다음과 같다.

$\overset{a}{^}_{k} \approx \frac{H _{k}^{(s)}}{28 ( Δ t ) ^{2}}$

이 식은 위치 MACD 히스토그램을 적절히 환산하면 가속도와 비슷한 물리량을 얻을 수 있음을 보여준다.

다만 이는 저주파 근사다. 급격한 조향, 충격, 바퀴 미끄러짐처럼 변화가 매우 빠른 상황에서는 오차와 지연이 커질 수 있다.

위치를 넣으면 속도와 가속도가 나온다

위치 수열을 MACD 구조에 넣었을 때의 관계를 정리하면 다음과 같다.

입력 $s_{k}$ : 차량의 위치

MACD선 $M_{k}^{(s)}$ : 속도에 가까운 지표

히스토그램 $H_{k}^{(s)}$ : 가속도에 가까운 지표

물리량으로 환산한 근사식은 다음과 같다.

$\overset{v}{^}_{k} \approx \frac{M _{k}^{(s)}}{Δ τ Δ t}$

$\overset{a}{^}_{k} \approx \frac{H _{k}^{(s)}}{τ _{p} Δ τ ( Δ t ) ^{2}}$

MACD선과 히스토그램을 그대로 물리량이라고 부를 수는 없다. 두 값의 단위와 크기는 표본 간격과 필터 기간에 의존한다. 하지만 위의 보정식을 적용하면 물리적인 속도와 가속도 추정값으로 연결할 수 있다.

속도를 넣으면 가속도와 저크가 나온다

차량에서는 GPS, 휠 속도 센서, CAN 통신 등을 통해 속도 $v_{k}$ 를 직접 얻는 경우가 많다. 이때 위치가 아니라 속도에 MACD를 적용할 수도 있다.

$M_{k}^{(v)} = EMA_{n_{f}} (v_{k}) - EMA_{n_{s}} (v_{k})$

속도 MACD는 가속도와 비슷한 정보를 갖는다.

$M_{k}^{(v)} \approx Δ τ Δ t a_{k}$

$\overset{a}{^}_{k} \approx \frac{M _{k}^{(v)}}{Δ τ Δ t}$

속도 MACD의 히스토그램은 가속도의 변화율인 저크(jerk)와 연결된다.

$j_{k} = \frac{d a}{d t}$

$H_{k}^{(v)} \approx τ_{p} Δ τ (Δ t)^{2} j_{k}$

$\hat{j}_{k} \approx \frac{H _{k}^{(v)}}{τ _{p} Δ τ ( Δ t ) ^{2}}$

저크는 급출발, 급제동, 변속 충격처럼 가속도가 갑자기 변하는 정도를 나타낸다. 승객이 불편함을 느끼는 것은 가속도의 크기뿐 아니라 가속도가 얼마나 갑작스럽게 변하는가와도 관련된다.

따라서 속도 MACD의 히스토그램은 승차감을 직접 판정하는 완전한 지표는 아니지만, 운전의 부드러움과 급격한 동작을 감지하는 보조 특징량으로 사용할 가능성이 있다.

정속·가속·감속을 어떻게 구분할까

위치 MACD와 히스토그램의 부호를 함께 보면 차량의 운동 상태를 직관적으로 구분할 수 있다.

$M_{k}^{(s)} > 0$ , $H_{k}^{(s)} \approx 0$ : 차량이 전진 방향으로 거의 일정한 속도로 이동한다.

$M_{k}^{(s)} > 0$ , $H_{k}^{(s)} > 0$ : 전진하면서 가속하고 있다.

$M_{k}^{(s)} > 0$ , $H_{k}^{(s)} < 0$ : 전진하고 있지만 감속하고 있다.

$M_{k}^{(s)} \approx 0$ , $H_{k}^{(s)} \approx 0$ : 차량이 정지했거나 매우 느리게 움직인다.

$M_{k}^{(s)} < 0$ : 정의한 좌표의 반대 방향으로 움직이고 있을 가능성이 있다.

이 해석은 위치를 도로 진행 방향을 따라 측정한 좌표 $s$ 로 표현했을 때 가장 자연스럽다. 평면 좌표 $(x, y)$ 에 각각 MACD를 적용할 수도 있지만, 자동차가 회전하면 좌표축의 방향과 차량의 진행 방향이 달라진다.

곡선 도로에서는 차량의 주행 경로를 따라 정의한 곡선좌표의 이동거리 $s$ 를 사용하는 편이 낫다.

실제 차량에서 생각할 수 있는 활용 가능성

GPS 위치에서 속도 변화를 추정한다

GPS 위치를 단순 차분하면 측정 잡음 때문에 속도가 크게 흔들릴 수 있다. 위치에 두 개의 EMA를 적용한 뒤 차이를 사용하면 고주파 잡음을 어느 정도 줄이면서 이동 방향과 속도 변화를 추정할 수 있다.

다만 GPS 갱신 주기가 느리거나 위치 오차가 큰 환경에서는 MACD만으로 정확한 속도를 얻기 어렵다. 휠 속도 센서나 관성측정장치와 결합하는 것이 적절하다.

가속과 제동의 시작을 감지한다

속도 MACD와 히스토그램의 부호 변화를 이용하면 운전자가 가속페달이나 브레이크를 밟아 차량의 운동 상태가 변하기 시작한 시점을 찾을 수 있다.

절대적인 임계값만 사용하는 방법보다 개인이나 차량의 장기적인 기준과 최근 움직임을 비교할 수 있다는 장점이 있다.

그러나 EMA에는 필연적으로 지연이 존재한다. 긴 기간을 사용하면 안정적인 대신 감지가 늦어지고, 짧은 기간을 사용하면 빠르지만 잡음과 거짓 신호가 늘어난다.

급출발·급제동과 승차감 특징을 만든다

속도 MACD는 가속도에, 그 히스토그램은 저크에 가까운 정보를 제공한다. 일정 시간 동안 히스토그램의 절댓값이나 제곱을 누적하면 운전의 급격함을 나타내는 특징량을 만들 수 있다.

$J_{scor e} = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} ∣ H_{k}^{(v)} ∣$

또는 큰 충격에 더 많은 가중치를 주기 위해 제곱평균을 사용할 수 있다.

$J_{r m s} = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} (H_{k}^{(v)})^{2}$

이 값은 같은 표본 간격과 같은 MACD 매개변수를 사용한 주행 구간끼리 비교해야 한다. 실제 저크의 단위로 비교하려면 앞서 제시한 환산계수를 적용해야 한다.

바퀴 미끄러짐의 보조 특징을 만든다

차량의 기준 속도와 각 바퀴의 회전속도에서 계산한 속도에 동일한 MACD를 적용한 뒤 차이를 비교할 수 있다.

$D_{i, k} = M_{i, k}^{(w h ee l)} - M_{k}^{(v e hi c l e)}$

$D_{i, k}$ 가 갑자기 커지면 특정 바퀴의 변화 속도가 차량 전체의 변화와 달라졌다는 뜻이다. 이는 가감속 중 슬립이나 센서 이상을 탐색하는 보조 특징으로 사용할 수 있다.

그러나 실제 ABS나 차체자세제어처럼 안전과 직접 연결된 제어에는 타이어 모델, 휠 동역학, 노면 조건과 빠른 상태추정기가 필요하다. MACD만으로 미끄러짐을 판정하거나 제어해서는 안 된다.

차량 상태량의 느린 이상을 감지한다

같은 원리는 위치와 속도뿐 아니라 모터 전류, 배터리 온도, 냉각수 온도, 진동의 포락선처럼 시간에 따라 변하는 차량 상태량에도 적용할 수 있다.

빠른 EMA와 느린 EMA의 차이는 최근 상태가 장기 기준에서 어느 방향으로 벗어나는지를 보여준다. 히스토그램은 그 이탈 속도가 커지는지 작아지는지를 보여준다.

이 경우 MACD는 물리량을 직접 추정한다기보다 다중 시간척도 변화 감지 특징량으로 사용된다.

차량용 MACD의 기간은 시간으로 설계해야 한다

주식에서 사용하는 12·26·9를 차량 데이터에 그대로 적용할 이유는 없다. 주식의 숫자는 거래일의 개수이고, 차량에서는 센서 표본의 개수이기 때문이다.

표본주파수가 $f_{s}$ 라면 표본 간격은 다음과 같다.

$Δ t = \frac{1}{f _{s}}$

예를 들어 100헤르츠로 측정한 데이터에서 12개 표본은 0.12초에 불과하다. 반면 1헤르츠 GPS 데이터에서 12개 표본은 12초다. 같은 12라는 숫자가 완전히 다른 물리적 시간척도를 뜻한다.

따라서 먼저 관찰하고 싶은 시간 범위를 정한 뒤 기간을 표본 수로 바꾸어야 한다.

빠른 EMA는 감지하고 싶은 짧은 운동 변화의 시간척도에 맞춘다.

느린 EMA는 비교 기준이 되는 정상 운동의 시간척도에 맞춘다.

시그널 EMA는 가속이나 저크 특징의 잡음과 응답속도를 조절하도록 정한다.

매개변수를 바꾸면 환산계수도 달라진다. 속도와 가속도를 물리 단위로 해석하려면 $n_{f}$ , $n_{s}$ , $n_{p}$ , $Δ t$ 를 반드시 함께 기록해야 한다.

실시간 계산이 단순하다는 장점

MACD는 매 시점 모든 과거 데이터를 다시 계산할 필요가 없다. 각 EMA의 이전 값만 저장하면 된다.

$E_{k} = α x_{k} + (1 - α) E_{k - 1}$

필요한 상태는 빠른 EMA, 느린 EMA, 시그널 EMA 세 개뿐이다. 따라서 계산량과 메모리 사용량이 작고 실시간 임베디드 시스템에서도 구현하기 쉽다.

이 단순성은 MACD를 물리지표로 검토할 만한 중요한 이유다. 완전한 차량 상태추정기를 대신하지는 못하지만, 센서 신호에서 추세 변화 특징을 빠르게 만드는 전처리 블록으로 활용할 수 있다.

물리지표로 사용하기 전에 해결해야 할 문제

지연이 존재한다

EMA는 과거 데이터를 이용해 잡음을 줄이는 대신 변화에 늦게 반응한다. 급제동 감지처럼 수십 밀리초가 중요한 안전 기능에서는 이 지연이 치명적일 수 있다.

MACD는 현상을 설명하거나 모니터링하는 데는 유용할 수 있지만, 안전 제어의 유일한 입력으로 사용하기에는 적절하지 않다.

고주파 잡음이 완전히 사라지지 않는다

MACD에는 차분 성분이 포함되어 있어 변화에 민감하다. EMA가 잡음을 줄여주지만 센서 잡음, 양자화 오차, 진동이 큰 경우에는 여전히 거친 신호가 나타날 수 있다.

필요하면 안티앨리어싱 필터, 이상치 제거, 센서 융합을 먼저 적용해야 한다.

불규칙한 표본 간격을 그대로 사용할 수 없다

앞의 수식은 $Δ t$ 가 일정하다고 가정한다. GPS 수신 지연이나 통신 누락으로 표본 간격이 달라지면 같은 $α$ 가 서로 다른 시간상수를 갖게 된다.

불규칙 데이터는 일정한 시간격자로 재표본화하거나 실제 시간 간격에 따라 $α$ 를 바꾸는 연속시간형 EMA를 사용해야 한다.

초기값의 영향이 있다

측정을 시작한 직후에는 EMA의 초기값 때문에 과도응답이 발생한다. MACD를 물리량으로 환산하기 전에 충분한 준비시간을 두거나 초기 상태를 합리적으로 설정해야 한다.

정확한 미분기를 대신하지는 않는다

MACD 기반 속도와 가속도 추정은 저주파 근사다. 정밀한 상태추정이 필요하다면 칼만 필터, 관측기, 사비츠키–골레이 필터, 센서 융합처럼 물리모델과 잡음 특성을 명시적으로 사용하는 방법이 더 적합할 수 있다.

MACD의 강점은 최적성에 있지 않다. 간단한 재귀식만으로 서로 다른 시간척도의 변화를 분리한다는 데 있다.

물리지표로서 검증하는 방법

아이디어를 실제 지표로 발전시키려면 해석의 아름다움만으로는 부족하다. 기준 센서와 비교해 정량적으로 검증해야 한다.

위치 MACD로 추정한 속도를 휠 속도 센서나 고정밀 GPS 속도와 비교한다.

위치 히스토그램으로 추정한 가속도를 관성측정장치의 종방향 가속도와 비교한다.

속도 히스토그램으로 추정한 저크를 가속도 센서의 미분값과 비교한다.

정상 주행, 급가속, 급제동, 정체구간, 경사로 등 다양한 조건에서 시험한다.

평균제곱근오차, 최대오차, 응답지연, 거짓 감지율을 함께 평가한다.

$n_{f}$ , $n_{s}$ , $n_{p}$ 를 바꾸어 정확도와 지연 사이의 관계를 확인한다.

특히 정확도만 비교하면 안 된다. 평활을 강하게 할수록 값은 안정적으로 보이지만 반응이 늦어진다. 물리지표의 성능은 오차와 지연의 두 축에서 평가해야 한다.

금융지표에서 운동학적 필터로

MACD는 원래 가격의 추세와 모멘텀을 살펴보기 위해 만들어졌다. 그러나 수식에서 가격이라는 이름을 제거하면 더 일반적인 구조가 나타난다.

$M_{k} = EMA_{n_{f}} (x_{k}) - EMA_{n_{s}} (x_{k})$

$H_{k} = M_{k} - EMA_{n_{p}} (M_{k})$

MACD 필터에는 $1 - z^{- 1}$ 이 들어 있고, 히스토그램에는 $(1 - z^{- 1})^{2}$ 이 들어 있다. 이 때문에 위치를 넣으면 속도와 가속도의 성격이 나타나고, 속도를 넣으면 가속도와 저크의 성격이 나타난다.

이를 간단히 정리하면 다음과 같다.

위치 → MACD: 평활된 속도 지표

위치 → 히스토그램: 평활된 가속도 지표

속도 → MACD: 평활된 가속도 지표

속도 → 히스토그램: 평활된 저크 지표

이 대응은 MACD가 자동차의 운동을 측정하는 완성된 공식이라는 뜻이 아니다. MACD가 본질적으로 서로 다른 시간척도 사이의 차이를 이용한 미분 유사 필터라는 뜻이다.

자동차의 현재 위치만 보면 어디에 있는지는 알 수 있다. 짧은 기억과 긴 기억의 차이를 보면 얼마나 빠르게 움직이는지 짐작할 수 있다. 그 차이가 다시 어떻게 변하는지 보면 가속과 감속의 흔적을 읽을 수 있다.

금융시장에서 모멘텀이라 부르던 것이 물리학의 언어로 옮겨오면 속도와 가속도가 된다.

MACD의 확장 가능성은 바로 여기에 있다. 하나의 공식을 다른 분야에 억지로 가져오는 것이 아니라, 그 수식 안에 이미 들어 있던 시간과 변화의 구조를 발견하는 것이다.

참고 자료

NIST/SEMATECH, EWMA Control Charts: https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc324.htm

StockCharts ChartSchool, MACD Moving Average Convergence Divergence Oscillator: https://chartschool.stockcharts.com/table-of-contents/technical-indicators-and-overlays/technical-indicators/macd-moving-average-convergence-divergence-oscillator

이 글에서 제시한 속도·가속도·저크 환산식은 신호가 필터의 시간척도에 비해 천천히 변하고 표본 간격이 일정하다는 가정에서 얻은 저주파 근사다. 실제 차량에 적용하려면 센서 특성, 좌표계, 지연, 잡음, 동역학 모델을 고려한 별도의 검증이 필요하다. 안전 관련 제어에는 검증되지 않은 MACD 지표를 단독으로 사용해서는 안 된다.